Resolviste un cubo de Rubik y ahora quieres ordenarlo. ¿Qué secuencia de movimientos deberías hacer?Sorpresa: puedes responder a esta pregunta con álgebra moderna.
La mayoría de las personas que cursaron matemáticas en la secundaria habrán tomado una clase llamada álgebra, tal vez incluso una secuencia de clases llamadas álgebra I y álgebra II que les pedían resolver x. La palabra “álgebra” puede evocar recuerdos de ecuaciones polinómicas de aspecto complejo, como ax² + bx + c = 0, o gráficas de funciones polinómicas como y = ax² + bx + c.
Quizás recuerdes haber aprendido sobre la fórmula cuadrática para hallar las soluciones de estas ecuaciones y también para encontrar dónde la gráfica intersecta el eje x.
Ecuaciones y gráficas como estas son parte del álgebra, pero no lo son todo. Lo que unifica el álgebra es la práctica de estudiar cosas —como los movimientos que se pueden hacer en un cubo de Rubik o los números en la esfera de un reloj que se usan para medir la hora— y cómo se comportan al combinarlas de diferentes maneras. ¿Qué sucede al encadenar los movimientos del cubo de Rubik o al sumar los números de un reloj?
Conjuntos y grupos
¿Cómo ecuaciones como ax² + bx + c = 0 y sus soluciones condujeron al álgebra abstracta?
En resumen, los matemáticos encontraron fórmulas muy similares a la fórmula cuadrática para ecuaciones polinómicas donde la mayor potencia de x era tres o cuatro. Pero no pudieron hacerlo para cinco. Se necesitó del matemático Évariste Galois y las técnicas que desarrolló —ahora llamadas teoría de grupos— para argumentar convincentemente que no podía existir tal fórmula para polinomios con una potencia máxima de cinco o más.
Entonces, ¿qué es un grupo?
Comienza con un conjunto, que es una colección de cosas. El frutero de mi cocina es un conjunto, y la colección de cosas que contiene son piezas de fruta. Los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12 también forman un conjunto. Los conjuntos por sí solos no tienen demasiadas propiedades —es decir, características—, pero si empezamos a aplicar cambios a los números del 1 al 12, o a la fruta del frutero, la cosa se pone más interesante.
Llamemos a este conjunto de números del 1 al 12 «números de reloj». Luego, podemos definir una función de suma para los números de reloj utilizando la forma en que decimos la hora. Es decir, decir “3 + 11 = 2” es la forma en que sumaríamos 3 y 11. Parece extraño, pero si lo piensas, 11 horas después de las 3 son las 2.
La suma de relojes tiene algunas propiedades interesantes
Satisface: clausura, donde al sumar elementos del conjunto se obtiene algo más en el conjunto;
identidad, donde hay un elemento que no cambia el valor de los demás elementos del conjunto al sumarse: sumar 12 a cualquier número dará como resultado ese mismo número; asociatividad, donde se puede sumar cualquier número que se desee en el conjunto; inversas, donde se puede deshacer cualquier acción de un elemento; yconmutatividad, donde se puede cambiar el orden de los números de reloj que se suman sin cambiar el resultado: a + b = b + a.
Al satisfacer todas estas propiedades, los matemáticos pueden considerar los números de reloj con suma de relojes como un grupo. En resumen, un grupo es un conjunto con alguna forma de combinar los elementos superpuestos. El conjunto de frutas de mi frutero probablemente no se pueda agrupar fácilmente: ¿qué es un plátano más una manzana? Pero sí podemos agrupar un conjunto de números de reloj demostrando que la suma de relojes es una forma de tomar dos números de reloj y obtener uno nuevo que cumpla las reglas descritas anteriormente.
Anillos y cuerpos
Junto con los grupos, los otros dos tipos fundamentales de objetos algebraicos que se estudiarían en una introducción al álgebra moderna son los anillos y los cuerpos.
Podríamos introducir una segunda operación para los números de reloj: la multiplicación de relojes, donde 2 por 7 es 2, porque las 14 en punto son lo mismo que las 2 en punto. Con la suma y la multiplicación de relojes, los números de reloj cumplen los criterios de lo que los matemáticos llaman un anillo. Esto se debe principalmente a que la multiplicación de relojes y la suma de relojes satisfacen conjuntamente un componente clave que define un anillo: la propiedad distributiva, donde a(b + c) = ab + ac. Por último, los cuerpos son anillos que cumplen aún más condiciones.
A principios del siglo XX, los matemáticos David Hilbert y Emmy Noether, interesados en comprender el funcionamiento matemático de los principios de la relatividad de Einstein, unificaron el álgebra y demostraron la utilidad de estudiar grupos, anillos y campos.
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Todo es diversión hasta que se hacen los cálculos
Los grupos, anillos y campos son abstractos, pero tienen muchas aplicaciones útiles.
Por ejemplo, las simetrías de las estructuras moleculares se clasifican mediante diferentes grupos puntuales. Un grupo puntual describe las formas de mover una molécula en el espacio, de modo que, incluso moviendo los átomos individuales, el resultado final es indistinguible de la molécula inicial.
Pero tomemos un ejemplo diferente que usa anillos en lugar de grupos. Se puede establecer un conjunto de ecuaciones bastante complejo para describir un sudoku: se necesitan 81 variables para representar cada lugar de la cuadrícula donde se puede colocar un número, expresiones polinómicas para codificar las reglas del juego y expresiones polinómicas que consideren las pistas ya presentes en el tablero.
Para que los espacios en el tablero y las 81 variables se correspondan correctamente, se pueden usar dos subíndices para asociar la variable con un lugar específico en el tablero, como usar x₃₅ para representar la celda en la tercera fila y la quinta columna.
La primera entrada debe ser uno de los números del 1 al 9, y representamos esa relación con (x₁₁ – 1)(x₁₁ – 2)(x₁₁ – 3) ⋅⋅⋅ (x₁₁ – 9). Esta expresión es igual a cero si y solo si se siguen las reglas del juego. Como cada casilla del tablero cumple esta regla, ya son 81 ecuaciones, solo para decir: “No se deben introducir números que no sean del 1 al 9”.
La regla “del 1 al 9 aparecen exactamente una vez en la fila superior” se puede resumir con un poco de razonamiento algebraico. La suma de la fila superior será 45, es decir, x₁₁ + x₁₂ + ⋅⋅⋅ + x₁₉ – 45 será cero, y el producto de la fila superior será el producto de 1 a 9, es decir, x₁₁ x₁₂ ⋅⋅⋅ x₁₉ – 9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 será cero. Si piensas que se tarda más en establecer todas estas reglas que en resolver el rompecabezas, no te equivocas.
¿Qué obtenemos al hacer esta compleja traducción al álgebra? Pues bien, podemos usar algoritmos de finales del siglo XX para determinar qué números se pueden introducir en el tablero que satisfagan todas las reglas y todas las pistas. Estos algoritmos se basan en la descripción de la estructura del anillo especial —llamado ideal— que forman estas pistas del tablero dentro del anillo mayor. Los algoritmos te indicarán si no hay solución al rompecabezas. Si hay múltiples soluciones, los algoritmos las encontrarán todas.
Este es un pequeño ejemplo de cómo establecer el álgebra es más difícil que simplemente resolver el rompecabezas. Pero las técnicas se pueden generalizar ampliamente. Puedes usar el álgebra para abordar problemas de inteligencia artificial, robótica, criptografía, computación cuántica y muchos más, todo con los mismos trucos que usarías para resolver el sudoku o el cubo de Rubik.
*Courtney Gibbons es Profesora asociada de Matemáticas en Hamilton College
Este artículo fue publicado originalmente en The Conversation
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